Об импульсе (количестве движения) двух стержней

 

 

И.В. Савельев в задаче 2-х тел приводит выражение гравитационной силы, как произведение приведённой массы на относительное ускорение.

 

                               

 

При упругом столкновении 2-х твёрдых тел в процессе их упругого взаимодействия выражение силы оказалось такое же, как и для гравитационных сил. Кроме того понятие приведённая масса совсем не означает что-то гипотетическое. На самом деле это произведение 2-х сомножителей с качественно различными понятиями. Например,  - это как обычно масса 1-го тела с размерностью кг, 2-й сомножитель  - это просто доля 2-й массы в суммарной массе - безразмерная величина. Произведение же последней на относительное ускорение определяет как раз просто ускорение 1-го тела . Аналогично имеем для 2-го тела . В итоге получаем . При перестановке  влево получаем . Однако, понятие приведённая масса, то есть приравнивание  к обычному понятию масса при упругом взаимодействии 2-х тел характеризует меру изменчивости упругости или как энергию единицы объёма т.е. давление.     

 

 

Пусть   т.е.  догоняет .

В момент столкновения обе массы двигаются со скоростью , при столкновении относительная скорость обеих масс равна нулю. Закон сохранения импульса, как известно для этой ситуации будет:

 

, отсюда , где

 

                 (I.a)   

 

где 0 - это конечное значение вектора ,   - это начальное значение вектора относительной скорости. Соответственно преобразование для  даёт:

 

                                ,                                            (I.b)

 

 и  из (I.a) и (I.b), образно говоря, характеризуют сжатие пружины (которая возникает при столкновении  и ) - первый этап движения. Найдём силу упругости. Имеем:

 

             ,

             ,

 

Так и должно быть.

 

Далее найдём:

 

                               и                                             (II)

 

где  и  - это результаты второго этапа движения (разжатия пружины). Окончательно имеем, что при столкновении  и  возникает пружина (образно говоря), которая  тормозит (для  имеем отрицательное ускорение), а  - ускоряет (для  имеем положительное ускорение) - это первый этап. Затем  (на 2-м этапе) пружина разжимается и опять создаёт те же самые ускорения для  и  по закону сохранения энергии. То есть в (II)  и . И выразив  и   из (II) с учётом  и , а так же  и  из (I). В итоге имеем:

 

            

 

соответственно  аналогично для  получим:

 

                                                                                 (III)

 

то есть за два этапа  теряет , а  приобретает те же .  

Для большей убедительности приведём этот вывод из полученных выражений.

Найдём скорости  и  после столкновения масс:

 

 

Проверка:

 

                                                                                  

                                                                                

 

                                                                                               

 

Пришли к закону сохранения импульсов:

                                 

 

Появилась величина новой массы - так называемой приведённой: . Эта масса по смыслу есть мера инерции упругости, т.е., образно говоря, между взаимодействующими телами возникает ещё одно тело - пружина.

 

Смысл взаимодействия (в третьим законе Ньютона) это обмен импульсами, а не равенство действий и противодействий:

  уменьшение,  увеличение, то есть  до остановки относительного движения под действием силы упругости - это первый этап движения. Но если движение отсутствует, то упругое состояние (сила упругости) никуда не делась или как принято силы упругости совершили работу  по накоплению потенциальной энергии, или образно говоря  - это потенциальная энергия сжатой пружины, которая переходит в кинетическую энергию разлетающихся стержней.

Подчеркнём  при  будет  соответственно , где  это всё-таки .

Суммарный эффект сжатия и разжатия пружины будет:

 

                            

          

 

                                              ,

 

Что совпадает с (III).

         То есть сила упругости  действует дважды - при сжатии и обратном разжимании пружины.  

 

Таким образом:

 

Третий Закон Ньютона: "Два тела действуют друг на друга силами равными по модулю и противоположными по направлению". Смысл Закона Ньютона по М.В. Ломоносову - сколько у одного убудет, столько у другого прибудет. Сила здесь вызвана третьим "телом", действующим в обе стороны одинаково т ответная реакция определяется инерционными свойствами взаимодействующих масс.

 

И.В. Савельев "Механика, Книга 1, М. 2001 г." - задачу двух тел, по существу, он свёл к движению одной частицы с массой раной приведённой в центральном поле сил. Предлагается решение этой же задачи через закон сохранения импульсов, что позволило, как и в данном примере, найти движущие силы и смысл процесса через обмен приращения импульсов.

 

 

 

e-mail для связи с автором: kos_post@mail.ru

 

Для желающих поддержать исследования автора - счёт ЮMoney: 410011017420901