Об импульсе (количестве движения) двух стержней
И.В. Савельев в задаче 2-х тел приводит выражение
гравитационной силы, как произведение приведённой массы на относительное
ускорение.
При упругом столкновении 2-х твёрдых тел в процессе их
упругого взаимодействия выражение силы оказалось такое же, как и для
гравитационных сил. Кроме того понятие приведённая масса совсем не означает
что-то гипотетическое. На самом деле это произведение 2-х сомножителей с
качественно различными понятиями. Например, - это как обычно масса
1-го тела с размерностью кг, 2-й сомножитель
- это просто доля 2-й
массы в суммарной массе - безразмерная величина. Произведение же последней на
относительное ускорение определяет как раз просто ускорение 1-го тела
. Аналогично имеем для 2-го тела
. В итоге получаем
. При перестановке
влево получаем
. Однако, понятие приведённая масса, то есть приравнивание
к обычному понятию
масса при упругом взаимодействии 2-х тел характеризует меру изменчивости
упругости или как энергию единицы объёма т.е. давление.
Пусть т.е.
догоняет
.
В момент столкновения обе массы двигаются со скоростью
, при столкновении относительная скорость обеих масс равна
нулю. Закон сохранения импульса, как известно для этой ситуации будет:
, отсюда
, где
(I.a)
где 0 - это конечное значение вектора ,
- это начальное
значение вектора относительной скорости. Соответственно преобразование для
даёт:
, (I.b)
и
из (I.a) и (I.b), образно
говоря, характеризуют сжатие пружины (которая возникает при столкновении
и
) - первый этап движения. Найдём силу упругости. Имеем:
,
,
Так и должно быть.
Далее найдём:
и
(II)
где и
- это результаты второго
этапа движения (разжатия пружины). Окончательно имеем, что при столкновении
и
возникает пружина
(образно говоря), которая
тормозит (для
имеем отрицательное
ускорение), а
- ускоряет (для
имеем положительное
ускорение) - это первый этап. Затем (на
2-м этапе) пружина разжимается и опять создаёт те же самые ускорения для
и
по закону сохранения
энергии. То есть в (II)
и
. И выразив
и
из (II) с учётом
и
, а так же
и
из (I). В итоге имеем:
соответственно аналогично для
получим:
(III)
то есть за два этапа теряет
, а
приобретает те же
.
Для большей убедительности приведём этот вывод из
полученных выражений.
Найдём скорости и
после столкновения
масс:
Проверка:
Пришли к закону сохранения импульсов:
Появилась величина новой массы - так называемой
приведённой: . Эта масса по смыслу есть мера инерции упругости, т.е.,
образно говоря, между взаимодействующими телами возникает ещё одно тело -
пружина.
Смысл взаимодействия (в третьим законе Ньютона) это
обмен импульсами, а не равенство действий и противодействий:
уменьшение,
увеличение, то есть
до остановки
относительного движения под действием силы упругости - это первый этап движения.
Но если движение отсутствует, то упругое состояние (сила упругости) никуда не
делась или как принято силы упругости совершили работу
по накоплению
потенциальной энергии, или образно говоря
- это потенциальная
энергия сжатой пружины, которая переходит в кинетическую энергию разлетающихся
стержней.
Подчеркнём при
будет
соответственно
, где
это всё-таки
.
Суммарный эффект сжатия и разжатия пружины будет:
,
Что совпадает с (III).
То есть
сила упругости действует
дважды - при сжатии и обратном разжимании пружины.
Таким образом:
Третий Закон Ньютона: "Два тела действуют друг на
друга силами равными по модулю и противоположными по направлению". Смысл Закона
Ньютона по М.В. Ломоносову - сколько у одного убудет, столько у другого
прибудет. Сила здесь вызвана третьим "телом", действующим в обе
стороны одинаково т ответная реакция определяется инерционными свойствами
взаимодействующих масс.
И.В. Савельев "Механика, Книга 1, М. 2001 г."
- задачу двух тел, по существу, он свёл к движению одной частицы с массой раной
приведённой в центральном поле сил. Предлагается решение этой же задачи через
закон сохранения импульсов, что позволило, как и в данном примере, найти
движущие силы и смысл процесса через обмен приращения импульсов.
И ещё одна задача: Об инерции
Пушка выстреливает снаряд вертикально вверх. Соответственно ускорение снаряда по направлению к Земле будет g. Вопрос: как поставить эксперимент, чтобы в нём можно было наглядно увидеть и замерить это ускорение g.
e-mail для связи с
автором: kos_post@mail.ru
Для желающих поддержать
исследования автора - счёт ЮMoney:
410011017420901