то есть
догоняет
В момент столкновения обе массы двигаются со скоростью , при столкновении относительная скорость обеих масс равна нулю. Закон сохранения импульса, как известно для этой ситуации будет:
, отсюда
, где
(I.a)
где 0 - это конечное значение вектора ,
- это начальное значение вектора относительной скорости. Соответственно преобразование для
даёт:
(I.b)
и
из (I.a) и (I.b), образно говоря, характеризуют сжатие пружины (которая возникает при столкновении
и
) - первый этап движения. Найдём силу упругости. Имеем:
Так и должно быть.
Далее найдём:
и
(II)
где и
- это результаты второго этапа движения (разжатия пружины). Окончательно имеем, что при столкновении
и
возникает пружина (образно говоря), которая
тормозит (для
имеем отрицательное ускорение), а
- ускоряет (для
имеем положительное ускорение) - это первый этап. Затем (на 2-м этапе) пружина разжимается и опять создаёт те же самые ускорения для
и
по закону сохранения энергии. То есть в (II)
и
. И выразив
и
из (II) с учётом
и
, а также
и
из (I) в итоге имеем:
соответственно аналогично для
получим:
(III)
то есть за два этапа теряет
, а
приобретает те же
.
Для большей убедительности приведём этот вывод из полученных выражений.
Найдём скорости и
после столкновения масс
Проверка
Пришли к закону сохранения импульсов:
Появилась величина новой массы - так называемой приведённой: . Эта масса по смыслу есть мера инерции упругости, т.е., образно говоря, между взаимодействующими телами возникает ещё одно тело - пружина.
Смысл взаимодействия (в третьим законе Ньютона) это обмен импульсами, а не равенство действий и противодействий: уменьшение,
увеличение, то есть
до остановки относительного движения под действием силы упругости - это первый этап движения. Но если движение отсутствует, то упругое состояние (сила упругости) никуда не делась или как принято силы упругости совершили работу
по накоплению потенциальной энергии, или образно говоря
- это потенциальная энергия сжатой пружины, которая переходит в кинетическую энергию разлетающихся стержней.
Подчеркнём при
будет
соответственно
, где
это всё-таки
.
Суммарный эффект сжатия и разжатия пружины будет:
Что совпадает с (III).
То есть сила упругости действует дважды
дважды - при сжатии и обратном разжимании пружины.
Таким образом
Третий Закон Ньютона: "Два тела действуют друг на друга силами равными по модулю и противоположными по направлению". Смысл Закона Ньютона по М.В. Ломоносову - сколько у одного убудет, столько у другого прибудет. Сила здесь вызвана третьим "телом", действующим в обе стороны одинаково и ответная реакция определяется инерционными свойствами взаимодействующих масс.
И.В.Савельев "Механика, Книга 1, М. 2001 г." - задачу двух тел, по существу, он свёл к движению одной частицы с массой равной приведённой в центральном поле сил. Предлагается решение этой же задачи через закон сохранения импульсов, что позволило, как и в данном примере, найти движущие силы и смысл процесса через обмен приращения импульсов.
e-mail для связи с автором: Этот адрес электронной почты защищён от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.
Для желающих поддержать исследования автора - счёт в Яндекс.Деньги: 410011017420901